Проективная геометрия
При проектировании точек одной плоскости на другую не каждая точка плоскости П имеет образ на плоскости П` и не каждая точка П` имеет прообраз П . Это обстоятельство привело к необходимости дополнения евклидовой плоскости т. н. бесконечно удалёнными (несобственными) точками. Такое присоединение приводит к образованию нового геометрического объекта — проективной плоскости.
Присоединяя к прямой несобственную точку, получают проективную прямую. К непараллельным прямым присоединяются разные точки, к параллельным — одна и та же. Дополняя плоскость несобственной прямой, считают, что на ней лежат несобственные точки всех прямых плоскости. Евклидова плоскость, дополненная несобственными элементами, называется (действительной) проективной плоскостью. На ней через любые две различные точки проходит и притом только одна прямая, и любые две различные прямые имеют и притом только одну общую точку. Дополнение евклидовой плоскости до проективной приводит к тому, что проектирование становится взаимно однозначным преобразованием.
Аналогичным образом из евклидова пространства получается проективное пространство.
Существуют различные способы аксиоматического задания действительной проективной плоскости. Наиболее распространённая система аксиом получается видоизменением системы аксиом, предложенной Д. Гильбертом для обоснования плоской евклидовой геометрии. Проективная плоскость рассматривается как совокупность элементов двух родов: точек и прямых, между которыми устанавливаются отношения принадлежности и порядка, характеризуемые соответствующими аксиомами. Первая группа аксиом отличается от соответствующей группы аксиом евклидовой геометрии тем, что каждые две прямые на плоскости имеют общую точку, и что на прямой имеется по крайней мере три различные точки. В качестве основного отношения порядка принимается разделённость двух пар точек, лежащих на одной прямой, описываемое второй группой аксиом. Пара точек С и D разделяет пару точек А и В, а пара А и С не разделяет пару В и D. Иногда к этим аксиомам добавляются непрерывности аксиомы.
Существуют интерпретации проективной плоскости, не привлекающие бесконечно удалённых элементов. Например. пусть R3 — евклидово пространство и О — точка в нём. Обозначим через П множество прямых, проходящих через О; точкой в П назовем евклидову прямую, проходящую через О, а прямой в П — множество евклидовых прямых, проходящих через О и лежащих в одной плоскости. Тогда П удовлетворяет аксиомам проективной плоскости.
Координаты на проективной плоскости можно ввести, например, следующим образом. Пусть П` — проективная плоскость, соответствующая евклидовой плоскости П, и пусть на П задана декартова система координат. Если М (х, у) — точка плоскости П, то однородными координатами точки М называются любые три числа (x1, x2, x3) такие, что x1/x3= х, x2/ x3 = у. Если ¥ — несобственная точка плоскости П, то через неё проходит пучок параллельных прямых; однородными координатами точки ¥ называются любые три числа (x1, x2, x3), первые два из которых суть координаты вектора, параллельного этим прямым, а x3 = 0. Т. о., однородные координаты точки из П` представляют собой тройку чисел, не равных одновременно нулю. Любая прямая на проективной плоскости определяется линейным однородным уравнением u1x1 + u2x2+ u3х3=0 между однородными координатами точек этой прямой, и обратно: всякое такое уравнение определяет прямую. Числа (u1, u2, u3), не равные одновременно нулю, называются однородными координатами прямой. Уравнение несобственной прямой имеет вид x3 =0. Если рассматривать проективную плоскость П` как пучок прямых в пространстве, то однородные координаты получают прозрачный геометрический смысл — это координаты какого-нибудь направляющего вектора прямой, изображающей точку проективной плоскости. Аналогичным образом вводятся координаты и в проективном пространстве.
Одним из замечательных положений Проективной геометрии является принцип двойственности. Говорят, что точка и прямая инцидентны, если точка лежит на прямой (или прямая проходит через точку). Тогда оказывается, что если верно некоторое предложение А о точках и прямых проективной плоскости, сформулированное только в терминах инцидентности между ними, то будет верно и предложение В,двойственное предложению А, т. е. предложение, которое получается из А заменой слова «точка» на слово «прямая», а слова «прямая» на слово «точка».
Важную роль в Проективной геометрии играет теорема Дезарга: если соответствующие стороны двух треугольников ABC и A`B`C` , лежащих в одной плоскости, пересекаются в точках Р, Q, R, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке О, и обратно: если прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников ABC и A`B`C`, лежащих в одной плоскости, сходятся в одной точке, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Обратная теорема Дезарга двойственна прямой теореме по принципу двойственности. Интересно, что эту теорему нельзя доказать лишь на основе аксиом инцидентности проективной плоскости, однако она справедлива на любой проективной плоскости, которая лежит в проективном пространстве,— такова, например, действительная проективная плоскость. Первый пример недезарговой проективной плоскости дал Д. Гильберт.
Выполнение теоремы Дезарга необходимо и достаточно для введения координат на проективной плоскости синтетическим путём. Это делается с помощью так называемого исчисления вурфов; оно состоит в том, что на проективной прямой вводятся операции сложения и умножения точек, превращающие её в тело k. Построение осуществляется с помощью полных четырёхвершинников — плоских фигур, составленных четырьмя точками, из которых никакие три не лежат на одной прямой, и шестью прямыми, соединяющими попарно эти точки; такая конфигурация позволяет определить чисто проективно понятие гармонической четвёрки точек. Двойственным образом с использованием полных четырехсторонников устанавливаются операции сложения и умножения в пучке прямых.
Свойства проективной прямой, как алгебраической системы, определяются, с одной стороны, геометрическими свойствами проективной плоскости, в которой она расположена. Так, например, коммутативность тела равносильна выполнению т. н. аксиомы Паппа: если / и /` — две различные прямые, А, В, С и A`, B`, С` — тройки различных точек прямых / и l` соответственно, то точки пересечения прямых AB` и A`B, AC` и A`C, BC` и B`C лежат на одной прямой; тело k имеет отличную от двух характеристику тогда и только тогда, когда диагональные точки Р, О, R полного четырёхвершинника ABCD не лежат на одной прямой [Р, О, R определяются как точки пересечения прямых AB и CD, AC и BD, AD и BC соответственно]. С др. стороны, в зависимости от выбора исходного тела k определяются различные проективные плоскости Пk как совокупности классов пропорциональных троек элементов тела k [за исключением тройки (0, 0, 0)]. Такой аналитический подход наряду с синтетическим с успехом применяется для изучения проективных свойств кривых и поверхностей. Аналогичные построения можно провести и для проективного пространства.
Линией второго порядка на проективной плоскости называют объект, определяемый с точностью до множителя пропорциональности классом однородных уравнений второй степени: a11 (x1)2 + a22 (x2)2+ a33(x3)2+2a12 x1x2+2a23 x2x3 + 2a31 x3x1 = 0.
Всякая нераспадающаяся линия второго порядка на действительной проективной плоскости (овальная линия) есть либо эллипс, либо гипербола, дополненная несобственными точками её асимптот, либо парабола, дополненная несобственной точкой её диаметров. Распадающаяся линия второго порядка состоит из двух прямых (различных или совпадающих) или одной точки. Наконец, возможна нераспадающаяся линия второго порядка, не содержащая действительных точек. Этим исчерпывается проективная классификация всех линий второго порядка. Фигурой, двойственной линии второго порядка, является пучок прямых второго класса — объект, определяемый классом пропорциональных однородных уравнений второй степени в координатах (u1, u2, u3). Огибающая невырожденного пучка прямых есть линия второго порядка.
Если на проективной плоскости заданы пять точек, из которых никакие четыре не лежат на одной прямой, то существует и притом только одна линия второго порядка, проходящая через эти точки. Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в линию второго порядка, лежат на одной прямой (теорема Паскаля). В случае распадающейся линии второго порядка эта теорема сводится к утверждению, формулируемому аксиомой Паппа. Двойственной теореме Паскаля является теорема Брианшона: диагонали, соединяющие противоположные стороны шестисторонника, описанного около овальной линии второго порядка, проходят через одну точку (рис. 7). См. также Полюсы и поляры.
Основы Проективной геометрии были заложены в 17 в. Ж. Дезаргом (в связи с развитием им учения о перспективе) и Б. Паскалем (в связи с изучением им некоторых свойств конических сечений) Большое значение для последующего развития Проективная геометрия имели работы Г. Монжа (2-я половина 18 — начало 19 вв.). Как самостоятельная дисциплина Проективная геометрия была изложена Ж. Понселе (начало 19 в.). Заслуга Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур в отдельный класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур. К этому же периоду относятся работы французского математика Ж. Брианшона. Дальнейшее развитие Проективная геометрия получила в трудах швейцарского математика Я. Штейнера и французского математика М. Шаля. Большую роль в развитии Проективная геометрия сыграли работы немецкого математика К. Штаудта. Его работами были намечены также контуры аксиоматического построения Проективная геометрия Все эти геометры стремились доказывать теоремы Проективная геометрия синтетическим методом, положив в основу изложения проективные свойства фигур. Аналитическое направление в Проективная геометрия было намечено работами А. Мебиуса. Влияние на развитие Проективная геометрия оказали работы Н. И. Лобачевского по созданию неевклидовой геометрии, позволившие в дальнейшем А. Кэли и Ф. Клейну рассмотреть различные геометрические системы с точки зрения Проективная геометрия Развитие аналитических методов обычной Проективная геометрия и построение на этой базе комплексной Проективная геометрия (немецкий математик Э. Штуди, Э. Картан) поставили задачу о зависимости тех или иных проективных свойств от того тела, над которым построена геометрия. В решении этого вопроса больших успехов добились А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин.
Некоторые положения и факты Проективной геометрии применяются в номографии, в теории статистических решений, в квантовой теории поля и в конструировании печатных схем (через теорию графов).