Алгебраическая геометрия
F1(X1, Х2 ..., Xn) = 0,
Fm(X1, x2, ..., Xn) = 0,
где Fi,..., Fm— многочлены от неизвестных x1, ..., xn. Каждое алгебраическое многообразие имеет определённую размерность, которая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Алгебраические многообразия, имеющие размерность 1, называются алгебраическими кривыми, имеющие размерность 2 — алгебраическими поверхностями. Примерами алгебраических кривых могут служить конические сечения.
Два алгебраических многообразия называются бирационально эквивалентными, если координаты каждой точки одного многообразия выражаются при помощи рациональных функций через координаты точки другого многообразия, и наоборот. В Алгебраическая геометрия алгебраические многообразия обычно изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности, поэтому одной из основных задач Алгебраическая геометрия является построение бирациональных инвариантов для алгебраических многообразий. Наиболее важные из известных бирациональных инвариантов строятся с помощью средств математического анализа (т. н. трансцендентных методов), в особенности при помощи кратных интегралов по алгебраическому многообразию. Кроме трансцендентных методов, в Алгебраическая геометрия часто применяются геометрические методы проективной геометрии, а также топологические методы (см. Топология). Последнее вызвано тем, что некоторые важные бирациональные инварианты, например род кривой (см. ниже), алгебраических многообразий носят топологический характер. Особенно большую роль играет связь Алгебраическая геометрия с топологией в свете теоремы японского математика Хиронака, согласно которой всякое алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, не имеющему особых точек.
Наиболее разработанная часть Алгебраической геометрии — теория алгебраических кривых. Основным бирациональным инвариантом алгебраической кривой является её род. Если алгебраическая кривая плоская, т. е. задаётся в декартовых координатах уравнением F(х, у) = 0, то род кривой g = (m 1)(m 2)/2 d, где m — порядок кривой, а d — число её двойных точек. Род кривой всегда есть целое неотрицательное число. Кривые рода нуль бирационально эквивалентны прямым, т. е. параметрически могут быть заданы при помощи рациональных выражений. Кривые рода 1 могут быть параметризованы эллиптическими функциями и поэтому называются эллиптическими кривыми. Кривые рода больше 1 могут быть параметризованы с помощью автоморфных функций. Каждая кривая рода g, большего 1, с точностью до бирациональной эквивалентности однозначно определяется 3g 3 комплексными параметрами, которые сами пробегают некоторое алгебраическое многообразие.
В многомерном случае наиболее изученный класс алгебраических многообразий образуют абелевы многообразия. Это — замкнутые подмногообразия проективного пространства, являющиеся одновременно группами, причём так, что умножение задаётся рациональными выражениями. Умножение на таком многообразии автоматически оказывается коммутативным. Алгебраическая кривая является абелевым многообразием тогда и только тогда, когда она имеет род 1, т. е. является эллиптической кривой.
Теория алгебраических кривых и теория абелевых многообразий тесно связаны между собой. Всякая алгебраическая кривая рода, большего 0, канонически погружается в некоторое абелево многообразие, называемое якобиевым многообразием для данной кривой. Якобиево многообразие является важным инвариантом кривой и почти полностью определяет самоё кривую.
Исторически Алгебраическая геометрия возникла из изучения кривых и поверхностей низких порядков. Классификация кривых третьего порядка была дана И. Ньютоном (1704). В 19 в. Алгебраическая геометрия постепенно переходит от изучения специальных классов кривых и поверхностей к постановке общих проблем, относящихся ко всем многообразиям. Общая Алгебраическая геометрия была построена в конце 19 и начале 20 вв. в трудах немецкого математика М. Нётера, итальянских математиков Ф. Энрикеса, Ф. Севери и др. Своего расцвета Алгебраическая геометрия достигает в 20 в. (работы французского математика А. Вейля, американского математика С. Лефшеца и др.). Крупные достижения в Алгебраической геометрии имеют математики Н. Г. Чеботарев, И. Г. Петровский, И. Р. Шафаревич.
Алгебраическая геометрия является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики. Методы Алгебраическая геометрия оказывают огромное влияние на такие смежные с Алгебраическая геометрия разделы математики, как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, а также на более далёкие от Алгебраическая геометрия разделы математики — такие, как уравнения в частных производных, алгебраическая топология, теория групп и др.